최단 경로 알고리즘 개념
가장 빠른 길찾기
최단 경로 Shortest path 알고리즘은 말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘이다. 그래서 "길 찾기" 문제 라고도 한다. 최단 경로 알고리즘 유형에는 다양한 종류가 있는데, 상황에 맞는 효율적인 알고리즘이 이미 정립되어있다.
'한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우', '모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우' 등이 다양한 사례가 존재한다. 이런 사례에 맞는 알고리즘을 알고있다면 문제를 좀 더 쉽게 풀 수 있다.
최단 경로 문제는 보통 그래프를 이용해 표현하는데, 각 지점은 그래프에서 '노드'*로 표현되고, 지점간 연결된 *도로는 '간선' 으로 표현된다. 또한 실제 코딩 테스트에서는 최단 경로를 모두 출력하는 문제보다는 단순히 최단 거리를 출력하도록 요구하는 문제가 많이 출제된다.
컴퓨터공학과 학부 수준에서 사용하는 최단 거리 알고리즘은 다익스트라 최단 경로 알고리즘, 플로이드 워셜, 벨먼 포드 알고리즘 이렇게 3 가지 이다. 그 중에는 다익스트라 최단 경로와 플로이드 워셜 유형이 코딩테스트에서 가장 많이 등장하는 유형이다.
더불어 앞서 공부한 그리디 알고리즘과 다이나믹 프로그래밍 알고리즘이 최단 경로 알고리즘에 그대로 적용된다는 특징이 있어, 그리디 알고리즘 및 다이나믹 플그래밍 알고리즘의 한 유형으로 볼 수 있다.
다익스트라 최단 경로 알고리즘
다익스트라 Dijkstra 최단 경로 알고리즘은 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다. 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 '음의 간선' 이 없을 때 정상적으로 동작한다. (음의 간선 :: 0 보다 작은 값을 가지는 간선)
다익스트라 알고리즘은 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다.
매번 '가장 비용이 적은 노드' 를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문이다. 알고리즘의 원리를 간략히 설명하면 다음과 같다.
- 출발 노드를 설정한다.
- 최단 거리 테이블을 초기화한다.
- 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
- 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
- 위 과정에서 3과 4번을 반복한다.
다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 '각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리' 정보를 항상 1차원 리스트에 저자아며, 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다. 매번 현재 처리하고있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인한다. 나중에 현재 처리하고 있는 노드와 인접한 노드로 도달하는 더 짧은 경로를 찾으면 '더 짧은 경로도 있었네? 이제부터는 이 경로가 제일 짧은 경로야' 라고 판단하는 것이다. 따라서 '방문하지 않은 노드 중에서현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 확인' 해 그 노드에 대하여 4 번 과정을 수행한다는 점에서 그리디 알고리즘으로 볼 수 있다.
다익스트라 알고리즘 구현
- 방법 1. 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드
- 방법 2. 구현하기에 조금 더 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드
시험을 준비하는 사람들은 방법 2 를 정확히 이해하고 암기하여 구현할 수 있을 때 까지 연습해야한다.
다익스트라 알고리즘에서는 '방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드를 선택' 하는 과정을 반복하는데, 이렇게 선택된 노드는 '최단 거리' 가 완전히 선택된 노드이므로, 더이상 알고리즘을 반복해도 최단 거리가 줄어들지는 않는다.
다시말해 다익스트라 알고리즘이 진행 되면서 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다.
방법 1. 간단한 다익스트라 알고리즘
- 시간 복잡도: $O(V²)$ ($V$ = 노드 개수)
- 처음에 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1 차원 리스트를 선언한다.
- 각 단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택' 하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차탐색) 한다.
# 간단한 다익스트라 알고리즘
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력 받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력 받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
# a 번 노드에서 b 번 노드로 가는 비용이 c 라는 의미
graph[a].append((b, c))
# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
min_value = INF
index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
for i in range(1, n + 1):
if (distance[i] < min_value and not visited[i]):
min_value = distance[i]
index = i
return index
def dijkstra(start):
# 시작 노드에 대해서 초기화
distance[start] = 0
visited[start] = True
for j in graph[start]:
distance[j[0]] = j[1]
# 시작 노드를 제와한 전체 n - 1 개의 노드에 대해 반복
for i in range(n - 1):
# 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
now = get_smallest_node()
visited[now] = True
# 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
for j in graph[now]:
cost = distance[now] + j[1]
# 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if (cost < distance[j[0]]):
distance[j[0]] = cost
# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한 (INFINITY) 이라고 출력
if (distance[i] == INF): print('INFINITY')
else: print(distance[i]) // 간단한 다익스트라 알고리즘
/**
*
* @param { Number } n 노드의 개수
* @param { Number } m 간선의 개수
* @param { Number } start 시작 노드 번호
*/
function solution (n, m, start, abc) {
const INF = Number(1e9) // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
// 각 노드에 연결되어있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기 (초기화)
let graph = Array((n + 1)).fill([])
// 방문한 적이 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기 (초기화)
const visited = Array((n + 1)).fill(false)
// 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
const distance = Array((n + 1)).fill(INF)
graph = abc // 모든 간선 정보를 입력받기 (js에서 직접 입력할 일을 없음)
// 방문하지 않은 노드중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
const get_smallest_node = () => {
let min_value = INF
let index = 0 // 가장 최단 거리가 짧은 노드 (인덱스)
for (let i = 1; i < n + 1; i++) {
// console.log(i, distance[i], visited[i], '-----')
if (distance[i] < min_value && !visited[i]) {
min_value = distance[i]
index = i
}
}
return index
}
// 다익스트라 알고리즘 시작
const dijkstra = (start) => {
// 시작 노드에 대해서 초기화
distance[start] = 0
visited[start] = true
for (const j of graph[start]) distance[j[0]] = j[1]
// 시작 노드를 제외한 전체 n - 1 개의 노드에 대해 반복
for (let i = 0; i < n - 1; i++) {
// 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
now = get_smallest_node()
visited[now] = true
// 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
for (const j of graph[now]) {
const cost = distance[now] + j[1]
// 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if (cost < distance[j[0]]) distance[j[0]] = cost
}
}
}
// 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
// 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for (let i = 1; i < n + 1; i++) {
// 도달할 수 없는 경우, 무한 (INFINITY) 이라고 출력
if (distance[i] == INF) console.log('INFINITY')
else console.log(distance[i]) // 0, 2, 3, 1, 2, 4
}
}
const abc = [
[],
[[2, 2], [3, 5], [4, 1]],
[[3, 3], [4, 2]],
[[2, 3], [6, 5]],
[[3, 3], [5, 1]],
[[3, 1], [6, 2]],
[]
]
solution(6, 11, 1, abc)전체 노드의 개수가 5,000 개 이하라면 이 코드로 문제를 풀 수 있지만, 10,000 개 이상이라면 이 코드로는 문제를 해결하기 어렵다.
방법 2. 개선된 다익스트라 알고리즘
- 시간 복잡도 : $O(ElogV)$ ($V$ = 노드 개수, $E$ = 간선 개수)
방법 1. 간단한 다익스트라 알고리즘은 '최단 거리가 가장 짧은 노드' 를 찾기 위해서, 매번 최단 거리 테이블을 선형적으로(모든 원소를 하나씩) 탐색해야 했다. 이 과정에서만 $O(V)$ 의 시간이 걸렸다. 하지만 최단 거리가 가장 짧은 노드를 단순히 선형적으로 찾는 것이 아니라 더 빠르게 찾을 수 있다면 시간을 더욱 단축시킬 수 있을 것이다.
힙 Heap
힙 자료구조는 우선순위 큐 Priority Queue 를 구현하기 위하여 사용하는 자료구조 중 하나다.스택은 가장 나중에 삽입된 데이터를 가장 먼저 삭제하고, 큐는 가장 먼저 삽입된 데이터를 가장 먼저 삭제한다. 우선순위 큐는 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제한다는 점이 특징이다. 스택, 큐, 우선순위 큐 자료구조를 비교한 내용을 표로 나타내면 다음과 같다.
| 자료구조 | 추출되는 데이터 |
|---|---|
| 스택 (Stack) | 가장 나중에 삽입된 데이터 |
| 큐(Queue) | 가장 먼저 삽입된 데이터 |
| 우선순위 큐 (Prior Queue) | 가장 우선순위가 높은 데이터 |
대부분의 프로그래밍 언어에서는 우선순위 큐 라이브러리를 지원하기 때문에 일반적인 코딩테스트 환경에서 우리가 직접 힙 자료구조부터 작성해서 우선순위 큐를 구현할 일은 없다. 파이썬에서는 PriorityQueue 혹은 heapq 를 사용할 수 있는데, 이 두 라이브러리는 모두 우선순위 큐 기능을 지원한다. 다만 PriorityQueue 보다는 일반적으로 heapq 가 더 빠르게 동작한다.
우선순위 큐 자료구조엔 일반적으로 정수형 자료형의 변수가 사용된다. 대부분의 프로그래밍 언어에서, 우선순위 큐 라이브러리에 데이터의 묶음을 넣으면, 첫 번째 원소를 기준으로 우선순위를 설정한다. 따라서 데이터가 (가치, 물건)으로 구성된다면 '가치' 값이 우선순위 값이 된다.
우선순위 큐를 구현할 때는 내부적으로 최소 힙Min heap 최대 힙Max heap 을 이용한다. 최소 힙을 이용하는 경우 '값이 낮은 데이터가 먼저 삭제' 되고, '값이 큰 데이터가 먼저 삭제'된다. 파이썬 라이브러리에서는 기본적으로 최소 힙 구조를 이용하는데 다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 비용이 적은 노드를 우선하여 방문하므로 최소 힙 구조를 기반으로 하는 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리를 그대로 사용하면 된다.
또한 최소 힙을 최대 힙처럼 사용하기 위해서 일부러 우선순위에 해당하는 값에 음수 부호(-)를 붙여서 넣었다가, 나중에 우선순위 큐에서 꺼낸 다음에 다시 음수 부호(-) 를 붙여서 원래의 값으로 돌리는 방식을 사용할 수 있다. 이 방법도 실제 코딩 테스트 환경에서는 자주 사용되기 때문에 기억해놓자.
우선순위 큐를 구현하는 방법은 다양하다. 데이터의 개수가 N 개 일때, 구현 방식에 따라서 시간 복잡도를 비교한 내용을 표로 확인해보자. 리스트를 이용해서 우선순위 큐의 기능을 구현하기 위해서는 삭제할 때마다 모든 원소를 확인해서 우선순위가 가장 높은 것을 찾아야 하므로 최악의 경우 $O(N)$ 의 시간이 소요된다.
| 우선순위 큐 구현 방식 | 삽입 시간 | 삭제 시간 |
|---|---|---|
| 리스트 | $O(I)$ | $O(N)$ |
| 힙(Heap) | $O(logN)$ | $O(logN)$ |
데이터의 개수가 N 개일때, 힙 자료구조에 N 개의 데이터를 모두 넣은 뒤에 다시 모든 데이터를 꺼낸다고 해보자. 이때의 시간 복잡도는 어떻게 될까? 삽입할 때는 $O(logN)$ 의 연산을 $N$ 번 반복하므로 $O(NlogN)$ 이고 삭제할 때에도 $O(logN)$ 의 연산을 N 번 반복하므로 $O(NlogN)$이다. 따라서 전체 연산 횟수는 대략 $2Nlog₂N$ (빅오 시간 복잡도 = $O(NlogN)$)이다.
최소 힙을 이용하는 경우 힙에서 원소를 꺼내면 '가장 값이 작은 원소' 가 추출되는 특징이 있으며, 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리는 최소 힙에 기반한다는 점을 기억하자. 우리는 이러한 최소 힙을 다익스트라 알고리즘에 적용할 것이다. 단순히 우선순위 큐를 이용해서 시작 노드로부터의 '거리' 가 짧은 노드 순서대로 큐에서 나올 수 있도록 다익스트라 알고리즘을 작성하면 된다.
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력 받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력 받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
# a 번 노드에서 b 번 노드로 가는 비용이 c 라는 의미
graph[a].append((b, c))
def dijkstra(start):
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0 으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
distance[start] = 0
while q: # 큐가 비어있찌 않다면
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q)
# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if (distance[now] < dist):
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if (cost < distance[i[0]]):
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한 (INFINITY) 이라고 출력
if (distance[i] == INF): print('INFINITY')
else: print(distance[i]) 플로이드 워셜 알고리즘
플로이드 워셜 알고리즘 Floyd Warshall Algorithm 은 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구하는 경우 에 사용할 수 있는 알고리즘이다. 심지어 소스코드 또한 매우 짧아서 다익스트라 알고리즘과 비교하면 구현 과정에서 어려움을 겪지는 않을 것이다. 다만 핵심 아이디어를 이해하는 것이 중요하다.
- 시간 복잡도 : $O(N³)$
다익스트라 알고리즘은 단계마다 최단 거리를 가지는 노드를 하나씩 반복적으로 선택한다. 그리고 해당 노드를 거쳐가는 경로를 확인하며 최단 거리 테이블을 갱신하는 방식으로 동작한다. 플로이드 워셜 알고리즘 또한 단계마다 '거쳐 가는 노드' 를 기준으로 알고리즘을 수행한다. 하지만 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다는 점이 다르다. 노드의 개수가 $N$ 개일 때, 알고리즘상으로 $N$ 번의 단계를 수행하며, 단계마다 $O(N²)$ 의 연산을 통해 '현재 노드를 거쳐가는' 모든 경로를 고려한다. 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 $O(N³)$이다.
다익스트라 알고리즘에서는 출발 노드가 1 개 이므로 다른 모든 노드까지의 최단 거리를 저장하기 위해 1차원 리스트를 이용했다. 반면에 플로이드 워셜 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과는 다르게 2차원 리스트에 '최단 거리' 정보를 저장한다는 특징이 있다. 모든 노드에 대하여 모든 노드에 대하여 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 담아야 하기 때문이다. 다시 말해 2차원 리스트를 처리해야 하므로 N 번의 단계에서 매번 $O(N²)$ 의 시간이 소요된다.
다익스트라 알고리즘은 그리디 알고리즘이지만, 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍이라는 특징이 있다. 노드의 개수가 $N$ 이라고 할 때, $N$ 번 만큼의 단계를 반복하며 '점화식에 맞게' 2 차원 리스트를 갱신하기 때문에 다이나믹 프로그래밍으로 볼 수 있다.
각 단계에서는 해당 노드를 거쳐가는 경우를 고려한다. 예를 들어 1 번 노드에 대해서 확인할 때는 1 번 노드를 중간에 거쳐 지나가는 모든 경우를 고려하면 된다. A → 1번 노드 → B 로 가는 비용을 확인한 후에 최단 거리를 갱신한다.
구체적인 (K 번의 단계에 대한) 점화식은 다음과 같다.
따라서 전체적으로 3중 반복문을 이용하여 이 점화식에 따라 최단 거리 테이블을 갱신하면 된다. 위의 점화식이 의미하는 내용을 말로 풀어 설명하자면, 'A 에서 B 로 가는 최소 비용' 과 'A 에서 K 를 거쳐 B 로 가는 비용'을 비교하여 더 작은 값으로 갱신하겠다는 것이다. 즉, '바로 이동하는 거리' 가 '특정한 노드를 거쳐서 이동하는 거리' 보다 더 많은 비용을 가진다면 이를 더 짧은 것으로 갱신한다는 것이다.
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0 으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
if (a == b):
graph[a][b] = 0
# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
# A 에서 B 로 가는 비용은 C 라고 설정
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a][b] = c
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if (graph[a][b] == INF): print('INFINITY', end=' ')
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else: print(graph[a][b], end=' ')
print()/**
*
* @param n
* @param m
*/
function solution (n, m, nodes) {
// 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
const graph = []
for (let i = 0; i < n + 1; i++) {
const row = []
for (let j = 0; j < n + 1; j++) {
const INF = 1e9 // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
row.push(INF)
}
graph.push(row)
}
// 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0 으로 초기화
for (let a = 1; a < n + 1; a++) {
for (let b = 1; b < n + 1; b++) {
if (a === b) graph[a][b] = 0
}
}
// 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for (let i = 0; i < nodes.length; i++) {
// A 에서 B 로 가는 비용은 C 라고 설정
const a = nodes[i][0]
const b = nodes[i][1]
const c = nodes[i][2]
graph[a][b] = c
}
// 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for (let k = 1; k < n + 1; k++) {
for (let a = 1; a < n + 1; a++) {
for (let b = 1; b < n + 1; b++) {
graph[a][b] = Math.min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
}
}
}
// 수행된 결과를 출력
for (let a = 1; a < n + 1; a++) {
for (let b = 1; b < n + 1; b++) {
// 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY) 라고 출력
if (graph[a][b] === 1e9) console.log('INFINITY')
// 도달할 수 있는 경우, 거리를 출력
else console.log(graph[a][b])
}
}
}
const nodes = [
[1, 2, 4],
[1, 4, 6],
[2, 1, 3],
[2, 3, 7],
[3, 1, 5],
[3, 4, 4],
[4, 3, 2]
]
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